千万别恨数学

根基不实

 

　　如果谁胆敢说“数学真容易！”的话，恐怕会被周围的人痛殴一顿，也许还会被看做傲慢的人而受到孤立。

　　我遇到的大部分学生都会感叹：“数学太难了！”在他们看来，就算自己尽力了，随着年级的升高，数学还是会变得越来越难。

 

　　“到底谁会觉得数学简单呀！”

　　不妨来思考一个问题。

　　如果问初中生“5+7等于多少？5×8等于多少？”的话，谁都可以轻而易举地回答是12和40。恐怕他们还会觉得问这个题目的人奇怪呢。

　　这个题目为什么简单呢？在小学一二年级的时候也是简单的吗？不是。

　　大家都有因为背不出九九口诀而在别人回家的时候被留在学校里继续背诵的记忆吧？在那时候这已经算是很难的题目了。

　　还有，大家之中肯定有一些人上了高中后曾给初中生解答过一次方程式。

　　“喂！这个这样做不就可以了！你是木头脑袋呀？！”成了青蛙，就忘掉自己是蝌蚪的时候了，就知道一味地去斥责别人。然而，看自己现在学的数学辅导书时却还是长吁一声，叹道：“这个到底怎么做啊？”

　　为什么自己学的题目总是那么难，一点儿解题的头绪都没有呢？如果找到了这个问题的答案，学起数学来就会容易多了。如果找不到，也就无从得知数学越学越难的理由了。

　　其实答案出奇的简单。

　　我们之所以在初中的时候会觉得小学的数学容易，是因为在初中学习的很多内容里，不知不觉地又把小学的数学重新学习过了。

　　比如，小学时无法正确理解的负数概念，到了初中就能正确地理解了，加减法之类的题目也就简单多了。这也就意味着你已经确确实实具备了至少能解答小学题目的基本能力。

　　要是能给初中生出小学的题目，给高中生出初中的题目该多好啊！然而，这是不现实的。作为高中生，如果只能很好地解答初中水平的题目是不行的，应该能从容地解答自己所在年级的题目才可以。

　　怎样才能解决这一问题呢？

　　初中生要对初中生必要的基础，高中生要对高中生必要的基础彻底地追根究底一番。

　　这就是我一直强调的追根究底式学习法。

　　如果连四则运算(+，-，×，÷）都做不好的话，初、高中的数学是无论如何也不可能学好的。还有，如果连一次函数都不知道，就算学了二次函数、三次函数也不可能真正理解，要解答这类题目等于是在挑战绝不可能的事情。

　　只有地基夯实了，上面的建筑才能牢固。如果没有一个坚实的地基，那建筑只能成为豆腐渣工程。

　　“哎！这谁不知道啊？当然要把基础彻底学好了！”有人可能如此反问。

　　“是吗？那该怎么学才好呢？”这样一问，他却说不出个所以然来了。

　　大家肯定都有认识到基础不足之后就把以前学过的东西再复习几遍，或者把以前学过的东西再翻出来看看的经历，但仅仅做到这种程度，还是不够的。

　　我要向大家介绍一种切实可行的方法，它是依据我所教过的学生们自己的经验总结而成的，大家很容易就能照着做，而且能看到实际成效，帮助大家切实打好基础。

　　在这儿我要介绍的追根究底式学习法是一种投入很少的时间就能打牢基础的方法。

　　这种追根究底式的学习结束以后，大家的实力都能在不知不觉中提高一个层次，数学也就不在话下了。

　　对基础追根究底，数学会变得越来越容易。

　　如果对基础置之不理，只是一味地追求进度，搞题海战术，只会越学越糟糕。

 贪多嚼不烂

 

　　在我认识的人中，曾经有一个人因为不遵医嘱服药过量而差点送了命。不管多好的药，如果服用过量都会成为毒药。

　　运动员就总是在对自己的运动量进行适当的调节。勉强熬夜训练，也许会被认为对实力的提高有所帮助，实际上对身体却是有百害而无一利，数学学习也是如此。

 

　　学习的时候总有一个效果最佳的适当的量，如果超过了这个量，你就会抱怨：“数学题怎么这么多啊！”“哎，该死的数学题快把我逼疯了！”如此一来，数学就会变得索然无味，无论怎么学习实力也几乎不会有什么提高了。

　　实际上，初、高中时期的数学题多得惊人。

　　初中时起码要做两三本习题集，每本各有近1 000~1 500道题，多的时候甚至要做四五本这样的习题集。

　　高中时，会有怎么做都做不完的“魔法”辅导书在那儿等着你。如果把与此相关的习题集也算进去，需要做的题就达数千道之多。

　　投入了这么多的时间，做了这么多的题，为什么却总是不见长进，而在那儿原地踏步甚至是一点一点地退步呢？为什么会产生做的题越多，前面的东西就越容易忘记的现象呢？到底是哪儿出问题了呢？

　　可以从两方面来考虑。

　　第一是由于错觉。

　　当我们所学的概念在题目中出现时，那些与重要概念直接相关的题目就是重要的题目，而那些与重要概念关系不大，需要特别技巧才能解开的题目就是不那么重要的题目。因此，在每个单元中，那些应该做到融会贯通的题目才是真正重要的题目，这样的题目并不是太多。但我们却总是有一种倾向，就是不管什么样的题目，只要它在那个单元中出现了，即使只有一道题没做，心里也觉得不塌实。

　　如果以这种方式去学习，实际上是在根本不重要的题目上浪费了大量的时间。要做的题过多会让人失去耐心，到做真正重要题目的时候反而容易混淆。只有靠题海战术才能提高实力的想法其实是一种错觉。

　　应该把题量减下来，以便集中精力学习那些重要的题目。大部分的时间都应该投入到这些重要题目上去，惟有如此，学过的东西才能如实地反映在自己的成绩上面。

　　另外，大部分学生在学习的时候，总是把每单元的“练习”等难度较高的题目全都做完之后才会转入下一单元，进入高中以后更是如此。如果在“例题”上面花一个小时的话，在“练习”上面就要花掉三个小时。

　　而试题的70%却出自这一个小时所学的内容之中，其余的30%也不一定和这三个小时学习的“练习”有什么关系。但我们却在这些根本不重要的题目上面倾注了太多的时间和努力，所以才会觉得数学难，也才会觉得学习量越来越大。这也正是很多人半途而废的理由之所在。

　　对占70%的重要题目应该投入学习时间的70%以上，要学会把那些不重要的题目果断地忽略过去。

　　应该先把重要的题目研究明白之后，再去学习不重要的题目。

　　这样学习的话，数学会变得更简单，学习量也会大幅度减少。

　　第二是由于不了解自己的水平。

　　连基础都没打好的人去做难题，无异于拎着自己根本提不动的行李去爬山。有的学生自以为只要能把难题解出来，实力自然而然就会得到提高，其实，这是一种错觉。

　　如果以高于自己水平的题目为中心进行学习的话，由于不会做的题目要比会做的还要多得多，数学学习便会渐渐变得索然无味，成为一种负担。一旦对数学失去了兴趣，要想再把兴趣找回来就十分困难了。因此，应该以适合自己水平的教材和适合自己水平的题目为中心进行学习，能解答出来的题目越多越好。因为惟有如此，学习才会有兴趣，只有保持兴趣，面对难题时才能无所畏惧地鼓起勇气钻研下去。这样一来，实力才能有进一步的提高。

　　总而言之，我想强调的是，做的题太多也会成问题，应该减少题量。减多少呢？

　　应该根据自己的水平和能力，以重要的题目为中心酌情减少学习量。

　　本书将会针对大家的水平和学习的阶段，就如何把握好适当的学习量提出具体的建议。

　　哪怕只通过减少学习量这一点，也会对大家的数学学习起到可观的作用。

不加整理

　　学习数学的时候，会发生一些荒唐的事。

　　第一个就是学过的东西在考试中再次出现时还是不会做，把题给做错了。明明在考试前已经做过了，但到底该怎么做却怎么也记不起来，甚至连自己是否做过这样的题都搞不清楚了。

 

　　第二个就是自己不知道该怎么做，费了半天劲儿去做的题目，学习好的同学看了一眼就说道：“啊！是这道题！”不费吹灰之力就做出来了。更荒唐的是，看别人做出来之后才发现这是一道自己也做过的题。

　　“他怎么这么快就能想起来这道题应该用这种方法去做呢？要是我也知道的话，数学不就简单多了吗……”这样感叹的同时，恐怕就会觉得自己真的不是学数学的材料了。

　　为什么做过的题却想不起来呢？

　　大家去图书馆的时候，如果所有的书都不按照题目和主题等来分类，而是乱堆在一起的话，你还能很容易就找到哪本书吗？恐怕不是花了很长时间才侥幸找到，就是被迫放弃了吧。

　　数学也是一样的。数学题不管怎么减量，也还是有很多，而我们的记忆力却是有限的。可我们却在很长的时间里，一直在无规则、无方法地往自己脑子里塞入大量的数学题。一到考试的时候，要在脑子里再把某道题翻出来，简直就像海底捞针那样难。

　　为了解决这一问题，我们也曾经尝试过反复学习很多遍的方法。可是，就连那些一本辅导书学了7遍的学生也还是感叹“数学真是越学越糊涂了”。反复多遍并不等于就在脑子里整理好了，需要有一种比单纯的反复更好的方法。

　　看到某道题之后，“啊！这道题是在哪个单元哪一种情况下出现的，它应该这样来做”。在脑子里很容易就能把学过的东西找出来，难道就没有这样的方法吗？这本书将会回答你这个问题。

　　原理很简单。

　　首先，把要记忆的重要题目分类列在纸上，就像对图书馆的书进行分类一样，然后把它原封不动地挪到脑子里去。这样一来，脑子里的东西就像在图书馆里一样井然有序了。

　　这就是我要强调的表格式学习法。

　　就像在拥挤的车棚中，不管有多少类似的自行车，你总是能很快找到属于自己的那一辆一样，这是一种能使你把题目与题目之间的相似点和不同点，题目独有的特征或解题方法等都一起记住的好方法。

　　用这种方法学习的话，现在所做题目的解题方法立刻就能从你以前学过的海量题目中蹦出来。

　　我利用这种表格教过很多学生，回过头来再学习第二遍的时候，他们就已经把我教过的内容全都吃透了。不管出哪个单元的题目，他们做起来都很得心应手。而且，时间大部分都被集中投入到了重要题目上，所以学习的时间也大大地缩减了。

　　使用表格学习法进行学习有三个好处：第一，将会加快你迈入上游生行列的步伐；第二，就像在轻车熟路的大道上，把旁边的胡同挨个钻一下也绝不会迷路一样，数学的支支干干也就无一不在你的掌握之中了；第三，学什么东西都能化为己有。这真是一种“一箭三雕”的好方法。

　　制作的表格等于是随身携带的地图。如果在没有表格的情况下去学习，等于是在没有地图和向导的情况下徒步攀登险峻的珠穆朗玛峰。

毫无计划 

　　这是我从一名韩国前乒乓球国家队员那儿听来的故事。

　　有一个曾在鸡龙山上专攻乒乓球之道的人(人称“鸡龙山道士”)大声叫嚷“我要和刘南奎比赛”(刘南奎系奥运会金牌得主，当时乒乓球队里的老大哥)，开始遭到了拒绝，可是他坚持三天不回家，还爬到附近的大树上大声叫嚷，在他坚持不懈的请求下，国家队最终答应和他打一场比赛。从他热身时紧握乒乓球拍，挥起球拍来虎虎生风的架势来看，似乎不

是一般人，“恐怕还真是个‘道士’”。队员们开始有了一点点的紧张，于是先派了一个年龄最小的选手和他比画一下。比赛结果为

　　21∶1，“鸡龙山道士”大败，那1分还是看他太可怜故意让他的。

　　失败后那个人却说：

　　“我要和刘南奎交手！我是专门针对刘南奎进行训练的！”

　　如果一个人学习的是狗刨式游泳，就算他学的时间再长，恐怕都难以胜过一个曾在小学的校游泳队里训练过的人。如果不对呼吸的方法、手脚的动作等进行系统学习，不管怎样刻苦练习，也很难超出一定的水平。

　　数学学习也要系统地进行才会有好的效果。

　　当被问及采用何种学习方法时，很多学生都会异口同声地说“多做几本习题集”，或者“不管会不会，赶紧往下进行”，或者就是“要做有难度的习题集”等等，他们正是以这些事倍功半的方法去学习的。

　　虽然学校也会根据每个人的能力把学生分为上、中、下几个层次来因材施教，但那样分出来的学生水平还是参差不齐的，要做到让他们能够根据自己的水平恰当地学习实际上还是不可能的。对于学校的老师们来说，即便明知道有学生理解不了自己的讲解，也得继续往下讲，这实在是无奈之举。

　　这种不考虑个人能力和水平的学习方式，往往只能得到事倍功半的效果。如果按照这种方法学习，恐怕连一本教科书或一本习题集都难以真正地吃透。还有，即使下了很大的功夫，实力的提高也是很有限的。

　　如果不根据自己的能力和水平制定合适的学习计划，即使在学习上投入了大量的时间，换来的也往往是微不足道的效果。

　　适合自己水平和能力的、系统的学习方法，与不走弯路的、正确的学习方法是不可或缺的。

　　“以我现在的水平，该从哪儿开始学起呢？”

　　“应该集中学习什么呢？”

　　“学完这个之后该学什么呢？”

　　“到底该学多少才行呢？”

　　“我怎么检验自己的学习是不是对路呢？”

　　有必要制定一个包含所有这些疑问的确切答案的、系统的学习计划。即只有看清楚通往目的地的路，学习起来才会更轻松一些。只有如此，才能迅速提高实力，不致浪费时间。

　　本书将这种学习计划按照大家的水平分成了5个阶段，并将就具体的学习阶段和方法向大家做出介绍。大家现在处在一个什么样的水平，今后还要再学习些什么，怎样才能达成自己的目标，都将是本书要回答的问题。

　　本书中所介绍的学习方法都是由我在教学生的过程中最行之有效的东西整理而成的。相信不管是谁，只要稍稍考虑一下，就会意识到只有那样去做才会有效果，同意我的观点。

　　没有一个符合个人水平的学习计划，或者不考虑学生水平和能力的学习计划，都会使学习越来越糟糕。

第1阶段--该怎样追根究底？

　　总之一句话，要像小孩那样打破沙锅问到底。

　　小孩子总是爱问一些问题，一直问到自己烦了，父母也烦了为止。

　　“爸爸！那是什么呀？”

 

　　“是交通事故危险指示牌。”

　　“什么意思呀？”

　　“就是说如果跑得太快了就会出事故。”

　　“事故是什么？”

　　“车子撞了，人受伤了就叫事故！”

　　“嗯……是这样啊！那危险是什么呢？”

　　一直这样问下去的话，只能用一些5岁小孩能听懂的话去解释，甚至有时候根本就不会结束。连续被问20个左右这样的问题之后，大人们恐怕就要说：“哎呀！小孩子不用知道那么多！长大以后就都知道了！”

　　但如果没有这种提问的过程，小孩子是无法健康成长的，没有一个小孩能略过这一过程长大成人。

　　数学学习也是一样。

　　大部分学生在学习的时候，即使有不懂的东西也只是忽略过去，或者简单地问一下就算了，更不会为了解决自己不懂的问题而去翻看低年级的教材。你很难看到一个初中生拿着小学的辅导书努力地练习加减法，而问题恰恰就在这儿。

　　数学是一门如果基础打不好，后面的内容就绝对无法学好的科目。如果基础不够坚实，在上面建造什么样的房子都很容易就会倒塌。所以，一直要追到源头，弄明白不懂的地方到底在哪里。

　　不懂的东西就要打破沙锅问到底，直到把老师问烦了为止！这就是对基础追根究底式补习的核心所在。

　　该怎样学？

　　我们来举一个例子。

　　用英英词典学英语的时候，不认识的单词都是用英语来解释的，而解释中又会有不认识的单词。然后再用英英词典去查那个单词，它的解释中又会有不认识的单词……这样反复查下去的话，一定会遇到以最简单的、自己全都认识的单词组成的解释，然后就可以从那儿再一点点地逆推上去学习单词。

　　以这种方式学习单词一段时间以后，到一定的时候，用英语解释的句子中几乎就不会有什么不认识的单词了。

　　所谓对基础追根究底式的补习，就是要像这样把自己不懂的基础内容的根源找出来进行学习。

　　高中学习二次函数时，如果一次函数的内容还没有弄清楚(做几道初中水平的题目就可以知道是否已经弄清楚了)，就要回头找到初中的一次函数那个单元。如果对一次函数中正比和反比的基本关系还搞不太清楚，就要再去找初一时学过的内容。就这样一直找下去，总会找到不懂的东西的根源。

　　之后就从那儿开始，整理内容，通过做一些例题，来重新掌握一下自己不懂部分的基本概念。然后再解答一些相关的题目，一个阶段一个阶段地学下去。

　　运算能力较弱的初中生要努力做一些小学的题目，可不要死充面子地光学些初中的东西，最后却落得个丢脸的下场……

　　对基础追根究底式的补习可以与任何其他部分的学习一并进行。在学习教科书或者辅导书时，可以既追根究底地补习，同时又照顾进度。特别是自己一个人学习的时候，为了能够把根源找出来，不妨试着去自问自答。所以，要常常把低年级的教科书或辅导书放在身边，随时学习。

　　如果自我感觉对小学阶段学习的内容较有自信，那就把初中的教科书(辅导书)放在身边，现在学习的内容中一旦有搞不懂的问题，就要去翻找查看。如果可以得到其他人的帮助，就要一直问到找出自己不懂的问题的根源为止，也就是直到连一点点的疑问也没有为止……

　　为了完成对基础追根究底式的补习，一定要具备以下心态：

　　—坦率承认自己无知！

　　—敢于厚着脸皮带上低年级的辅导书！

　　—就算挨打，对不太清楚的问题也绝不马马虎虎一带而过，而要坚持追问到底！

　　—即使是因为自己耽误了进度(当然一个人学习的话就无所谓了)，对朋友也毫无愧疚！

　　也许刚开始看低年级辅导书会有些不自在，怕被别人看见觉得不好意思，不仅如此，与其他部分的学习同时进行时，起初见效不是很快，就更容易产生想要放弃的念头。

　　但以这种方式学习下去的话，随着进度的推进，你会感到不懂的东西在渐渐减少。之后没有多久，在学习中连基础的东西都不知道的情况就再也没有了。此后，进度也会加快，哪怕只学一点儿，对其理解的程度也会更深一些。

　　如果到了这种程度，你就会觉得数学其实并不难，你也会由此发现自己更上一层楼。即便是以其他部分的学习为中心零星地进行追根究底式的基础补习，只要努力，不出三个月你也能看到它的效果。

　　该学什么？

　　在对基础追根究底式的补习中，最应该用心学习的就是基本概念、重要公式、基本题型。这些都是必须准确掌握的。

　　这儿所说的掌握绝不是用眼睛看一遍说一声“啊！原来如此”就行了的水平，而应该是，不看那些概念和公式也能够背诵出来，不管谁问都能用自己的话流畅地进行说明，碰到含有这些概念、公式的基本题目也能够熟练解答。

　　由于是低年级的内容，所以一旦做起来的话，其实没那么难，也花不了多少时间。

　　追根究底式补习例题

　　我们来看一下初中二年级学习的一道方程组题目。

　　题目 解下面的方程组

　　……①

　　……②

　　这道题只有在掌握了下面的内容后才能够解出来。

　　初一课程方程组求解

　　初二课程方程组求解

　　最小公倍数，一次方程式

　　小学课程乘法和加法，分数运算

　　看一下这道题的解题过程。

　　第1步 两个方程的两边同时乘以分母的最小公倍数：

　　…… ①’

　　…… ②’

　　运算和整理后得：

　　3x+2y=18…… ①"

　　5x-2y= -4…… ②"

　　第2步 为了消去一个未知数，把上面两个等式的两边分别相加，整理成一元方程式：

　　3x+5x+2y+(-2y)=18+(-4)…… ③

　　(3+5)x+(2-2)y=14…… ③’未知数和等式，负数

　　8x=14, x=…… ③"一次方程式

　　∴ x=…… ④

　　第3步 把等式④代入等式①"，求y的值：

　　3+2y=18…… ⑤

　　2y=18-=…… ⑤’一次方程式

　　2y=, y=…… ⑤"

　　∴ y=…… ⑥

　　上面所用到的低年级的内容中，哪怕有一个不会，这道题都会解错。

　　看一下解这道题必需的东西都有什么呢？小学里学的运算，初一课程中学的负数运算、最小公倍数、未知数和等式、一次方程式等若干概念。

　　在初二的课程中，只需要把这道题的解题步骤记住就可以了，其余的所有解题过程都是运用低年级学过的内容来解答的。基础竟如此重要。

　　用追根究底式的方法学习上面这道题时，如果对初一课程中解一次方程式这部分掌握得不是很好，那该怎么做呢？

　　当然要去找初一课程中的一次方程式了。

　　但在解一次方程式的过程中，突然发现对未知数的运算不是很了解，那就要重新去学习未知数和等式部分。如果总是把正数和有理数混为一谈，那就要对这一部分重新进行塌塌实实的学习。

　　对一道题目中包含的所有不太理解(或者无法熟练解答)的内容依次去查找和学习，如果在第一次查找到的内容中又碰到了不太理解的部分就要继续往下查找和学习，这些都包含在追根究底式学习方法的概念之中。或许一个基础极为薄弱的学生为了解一道题要重新学习很多的内容。

　　像这样追查到自己不懂的根源后再一点点赶上来，就是对基础追根究底式的学习。

　　用追根究底式学习法，虽然只是做了一道题，却是一边整理过去所学的所有东西一边解出来的。虽然刚开始的时候进度会比较慢，也会花费大量的时间，但不用多久，就没有必要再去翻看低年级的内容了。

　　慢慢地，就没有必要再向前追查已学过的内容了，那时，大家就通过了追根究底式的学习阶段。

 

第1阶段 —— 一口气追根究底

 

　　假设有一个学生在学习的时候发现自己对一次函数不太了解，就回到初二的课程中去查看，结果还是几乎什么都不会。

　　这时应该怎么办呢？

　　如果只是大致把现在所需的东西快速学习一遍，然后就接着原来的进度继续往下进

行的话，这几乎是起不到什么帮助作用的。

　　像这种基础极不牢固的学生，还不如干脆对基础来个一口气的追根究底更好一些。这种学生在赶进度的同时，如果也是按照追根究底的方式去学习的话，要查的东西实在是太多了，很容易就会厌烦或半途而废。

　　另外，在升入高年级的时候，如果对上个学年学过的内容没有自信，觉得应该好好整理一番的话，不妨也来用一下这种方法。升入初中时重新学习小学的课程，或者升入高中时重新学习初中的课程也包含在内。甚至有时候，升入了初三，也可以重新学习初二的内容。按照自己的年级或目标去赶进度并不是最佳的方法。

　　该怎样学习？

　　要对自己已经学过的一学年或者一学期，甚至是在小学、初中阶段学的内容进行整理。这并不是说在解答本年级的题目时去翻找低年级的东西，而是指干脆另找一块时间去把低年级的教材或内容重新学习一遍。

　　“那耗费的时间岂不是太长了？”“那在这段时间里其他的同学岂不是多学了很多新东西……”有些学生会有这样的担心。

　　但事实并非如此。

　　对基础一口气追根究底，其关键在于只是快速地学习那些必须要掌握的东西。

　　举个例子来说，即使小学阶段学过的内容记不起来了，也没有必要把四、五、六年级的东西全部重新学习一遍，那反而很容易造成时间的浪费。只需要以那些与本年级关系密切的东西为中心进行学习，或者对自认为比较薄弱的环节进行集中学习就可以了。

　　实际上，按照这种方法去学习并不会耗费太多的时间。高中生学习初中教材或者初中生学习小学教材的话，要完成目标所需花费的时间比大家想像的要少得多。这是因为面对低年级的东西，即以前学过的东西，学生会觉得比较简单，而且比较有自信。因为只需要学一些必须要掌握的东西，所以量也就不是很大，所需时限大体上以不超过一个月为佳。

　　学习什么东西？

　　只需要学习基本题型、基本概念和公式等核心的东西就足够了。

　　当然，大致浏览式的学习是不行的，要塌塌实实地去学。另外，本年级不需要的部分要果断地跳过去，那些高中阶段会重新学习或者与高中课程无关的初中内容，不学也是可以的。

　　此外，没有必要连测验题、练习题一类的附加题目都一一解答出来。这是因为，即便有漏掉的东西，在以后推进进度的过程中也还可以用追根究底的方法再学习一遍。

　　最好不急不躁地一口气把相关问题解决掉。

　　至于学习的方法，可以从两个方面来考虑。

　　既可以按照主题分为集合、代数、解析、几何、概率以及统计等几大块，不分年级地去学习，也可以按照年级，从低年级课程开始一步步学起。虽然按照主题去学习效果更好一些，但并没有多大的差别。

　　下面这些是高中时必需的初中阶段的内容，或者初中时必需的小学阶段的内容中最重要的东西整理而成的，以供参考。它告诉我们，该学些什么会对一口气对基础追根究底有所帮助。

 

第2阶段—— 背诵令两个学生一喜一悲

 

　　我曾经教过两名初中二年级的学生，其中一名学习成绩处于中游水平，另一名学生HM则总是在中下游之间起伏不定。

　　虽然HM看上去在课堂上大体也能听懂老师的讲解，但好像总是理不清学习的内容是什么。有一天，我讲解图形部分时，发现她对于题目几乎束手无策。

 

　　HM的问题在于没有背诵好重要的概念或公式，所以当碰到题目的时候，本应该快速反应出来基本的性质或公式，她却做不到。

　　刚开始的时候，我曾不断地督促她，还把原理详细地讲解给她听，希望她能通过进一步的理解自然而然地把这些东西记住，可是情况却几乎没怎么好转。

　　于是我暂时不再继续往下赶进度，而是把图形部分中我觉得最重要的内容整理出来，让她把这些东西背得滚瓜烂熟。

　　例如，把三角形内心的定义和性质及其在题目中的应用举例等简单整理后让她去背诵。我挑选了10个左右与此类似的有完整解答步骤的例题，让她不断地边检查边背诵，一直到她能从头到尾什么也不看凭记忆在白纸上写下来为止。

　　等我确定HM已经切实地记住了之后，再重新回到图形单元中，结果发现在不知不觉间，她已经能够得心应手地解答图形题目了。

　　从那以后，只要我碰到图形方面薄弱的学生，或者是看到题目后因为连基本的概念或定义都想不起来而不会做题的学生，我就会把那个单元中核心的东西整理出来，让他们一字不差地背诵下来。这种学习方法总是能收到超乎想像的效果。

　　第二个故事是关于一个在国外读完小学后回韩国的学生的。

　　那个学生的父母在把他托付给我的时候说：“这个孩子脑子还是挺好使的，就是不学习！打也好骂也好，请老师您管教一下吧！”

　　看起来大部分的父母都认为自己孩子很聪明。实际上几乎没有哪个学生的脑袋瓜生来就不是学习的材料，只不过是不愿意努力罢了。

　　不管怎样，那个学生在小学的时候，数学成绩还一直都是差一点儿就能算是上游水平，但到了初中以后，分数却一路下滑，几乎都快垫底了。所以他父母就给他换了一个又一个的老师，结果却无一例外地都以失败告终，于是又换成了我。

　　教了他一段时间以后我发现，这个学生最大的问题就是极其讨厌背诵。也不知道是不是受到在国外学习习惯的影响，他公然表示就是不愿意去背东西(这个学生理解能力还可以，对于讲解的东西理解得还是不错的)，动不动就说在国外如何如何，说自己想以那儿的方式学习。虽然他的父母现在无法去外国，但在他的心中却依然无法舍弃回到国外的念头。

　　因此，在这个学生听课后的第二天，问他前一天学习过的内容，结果发现本应背诵的东西也就记住了不过20%~30%。我想这样下去可不行，就让他把重要的概念写下来去背诵，结果他说怎么背也记不住。他是个根本不愿意背诵的学生，真是让人无可奈何。

　　但念在他父母如此诚恳的拜托，我还是尽量忍耐下来，在上课的时候尽可能讲得有趣一些，付出了比对别的孩子多一倍的心血。他一开始还做出一本正经学习的样子，但一碰到需要背诵的东西就逃之夭夭了。因此，那些必须要记住公式或者概念才能做出来的题目，他几乎一道都不会。

　　最终，他的父母看他的成绩一点儿都没有提高，没过多久就不再让他来了。

　　这对于我来说是一段苦涩的回忆，我觉得很遗憾。如果他的父母再多给我一点儿时间的话，情况有可能会有所好转的。无论如何，我还是通过这次经历再次认识到了背诵在数学学习中的重要性。

　　对于数学这门课来说，如果连定义、定理、性质、公式之类的东西都记不准，就无从着手。

　　去国外的时候，对大部分人来说最大的难题就是“语言”。英语“airplane”的意思是“飞机”，对于美国人来说，只要发出“airplane”的声音，任何人都知道是“飞机”的意思，因为就是这样约定俗成的。但在韩国，如果一位老大爷看到“飞机”后问“那是什么”，你说是“airplane”的话，可能会挨一记耳光，因为韩语的约定俗成与英语是完全不同的。

　　在数学里面也有很多这样的约定。也就是说，只有对此准确掌握，一听就能马上明白是什么意思，学习起来才不至于那么困难。要切实地掌握数学中的这些约定(定义、定理、性质、公式等)，才可以与题目进行“沟通”。

　　假设有一个题目是：“用刻度为1毫米的尺子来测量，误差会有多少？”如果连“误差”的定义都不知道，这个题目根本就无从下手(参考：误差就是“近似值”减去“精确值”)。但如果知道误差的定义，不管对还是错，总还是有机会可能解出来的。

　　如果无法克服这种语言(对于数学来说就是必须掌握的基础)的障碍，学习数学无异于孤身处于一个语言不通的国家。老师的讲解听起来就会像用一门你不懂的语言一样，就算努力学习，也还是像听天书一样不知所云。这样一来，在上学的时间里，与数学之间的“梁子”就只会越结越深。

　　所以，把一个单元中核心的概念或者公式切实地理解和背诵下来，是学习数学时最重要的着手点。这是我总结出来的快速骨架学习法的核心所在。

 

第2阶段--骨架题该如何学习？

 

　　骨架题指的是那些基本类型的题目。

　　这些题目是考试中的必考题，是检验各个单元的重要概念掌握与否的尺子。

　　只要认真观察一下就可以发现，重要的题目和一般的题目还是有一定区别的。大致来说，在每个小单元中都有4个左右的题目，有时候也会只有一两个。只需要找那些在重要概

念或公式的说明之后出现的题目就可以了。

　　要学习骨架题，最好以教科书为中心，但如果有像教科书那样，解释浅显易懂、骨架题已经分门别类整理好了的辅导书，也是不错的。

　　骨架题就是那些与重要的概念、公式直接相关的题目。在大部分的辅导书中，被称为例题的题目中就掺杂着这种骨架题。因为例题既包括骨架题，也包括更高水平的题目，如果学习全部例题，对于正处于第2阶段的你来说，就显得有些负担过重了。

　　由于现阶段不能让你因推进进度而感觉负担过重，所以还是选择那些以自己的水平能够很快挑选出来并能很快做完的教科书之类的教材比较合适。

　　现在我们来看一下教科书。

　　那些被冠以例题称谓的题目也就是所谓的骨架题。有一些例题比骨架题的水平还要低一些，还是在学习概念、公式的同时一起学习比较好。它们的作用大都是为了对概念进行说明或帮助理解。总之，在第2阶段里，只需要做一些骨架题或更低水平的题目就可以了。

　　即只需要把教科书中的例题和难度低于骨架题的题目做出来就可以了。还有一些对例题起补充作用的练习题，在相当于骨架题个数的范围内做一些也未尝不可，但由于其量比较大，如果要全部做出来就会影响进度的推进。对于此类题目，哪怕一点儿也不做就跳过去也没有关系。

　　初中的课程中例题太少，因此最好以那些在重要概念之后出现的题目为主来做题。

　　需要注意的是，“练习”、“习题”切勿全部解答，跳过去就可以了，因为这些都不是现在这个阶段需要做的题目。

　　为什么只学骨架题？

　　第一，因为快速地了解整体的脉络和重要内容是这个阶段的目标所在。“原来这个单元是讲这个的啊！”“最重要的概念是这样的！”“重要概念原来是以这种方式来出题的啊！”如果能够了解这些，就已经足够了。能把握这些表示打好了基础。像这样，能先了解一个单元中最重要的内容和题目并快速学习一遍的话，你会觉得数学变得简单有趣多了。

　　第二，因为这有助于分辨出重要题目和不重要的题目。

　　如果连骨架题都不会，再怎么学习其他题目也不会有什么帮助。这就好比在连主路(骨架题)都不知道的情况下还要努力去了解支路一样，是很容易迷失的。

　　为了进一步提高实力而回过头来重新学习的时候，由于对整体的脉络已经有了一个了解，就能以重要题目为主展开学习了。而且，由于这些都是长在骨架上的肉(不管有多少必修类型题)，所以可以在头脑中条理清晰地整理出来而不至于混淆。

　　第三，因为骨架题在考试题目中一定会出现。

　　如果把略微应用了骨架题的题目都算在内的话，会有很多的考试题目都在此列。即使是高考，只要把这些东西切实掌握好，考个100分以上也不会是一件很难的事。

　　如果对单元中的骨架题进行集中学习的话，由于量并不大，所以考试的准备时间也可以大幅减少。另外，由于题目的量比较少，对题目的分辨能力也会自然产生，在解题的时候失误的概率也会大大降低。

　　只要把这些实实在在掌握好了，至少能使你保持中游水平。

　　第四，如果以骨架题为中心，事先把一个学期的内容快速学习一遍的话，等在学校里上课的时候，由于都已经预习过了，你就能更加积极地参与课堂上的互动。之前预习时忽视的概念也可以再塌塌实实地学一遍，这样在学校课堂上的收获会更大，理解得会更清楚，自然也就会觉得更为有趣。

　　该怎样学习？

　　可以把筛选出来的骨架题用彩色笔或者荧光笔鲜明地标示出来。如果是喜欢整理东西的学生的话，则可以把一个单元的题目整理为一页纸左右的笔记。另外，如果把第1阶段整理好的公式、概念之类的东西也放在一起，简直就等于自己编撰了一本优秀的独一无二的小小教科书。

　　还有，可以把题目一下子全罗列出来，这样做有一个优点—可以使你生出一双火眼金睛，轻而易举地就能分辨出题目和题目之间的差别所在。如果能把题目区别开来的话，在考试中会占多大的优势，就算我不说，相信大家也很清楚。

　　但比起标示和整理来，更重要的是要切实地学习它们，在脑子里把它们理清楚。否则，即使整理得再漂亮，如果不去学习也不过是纯粹浪费时间罢了。

　　应该选多大的题量？

　　虽然确定到底该选多大的题量也是比较重要的，但由于以后你也可以把认为没有必要的题目删掉，所以刚开始选择题目的时候倒也不必过于慎重。随着学习一步步推进，哪些是重要的题目，哪些是不怎么重要的题目，都逃不过你那双慢慢练就的火眼金睛。

　　大致说来，如果是高中的教科书，整理一个小单元，从5道题目左右开始比较好。初中的单元数目比较少，大多也都是一些简单的题目，所以一个小单元以10道题目以下较为适当。

　　根据单元内容的多少，这一数目也可以有所变化，这儿所说的5道、10道，也只是为了检查是否已掌握概念所必需的大体数目罢了。

　　题目要练习到什么程度为止？

　　对于这些题目，要一直练习到在没有任何外界帮助的情况下，能够自己把它们解答出来为止。这与背诵公式和概念差不多，特别是对于教科书中出现的解题步骤，尽可能原封不动地把它们写出来是很重要的。有些学生总是自己随心所欲地杜撰一些解题步骤，这是一个必须改正的不良学习习惯。

　　要想把骨架题真正化为己有，就有必要像上面的图示一样进行两次检查。

　　在第一次检查中，做到在各个单元的学习结束之后，对每一道题目都能不看参考资料从头到尾解答出来就可以了。这时，哪怕中间稍微看一点儿答案或者解题步骤都不可以，应该能在不看答案或提示的情况下凭自己的能力解答出来。

　　第二次检查就是在结束了一个单元进入到下一个单元之后，在下一单元(过了几个单元之后再检查也可以)即将结束之际对前一单元的题目是否真正掌握再进行一次检查。据说在第一次背诵之后大约24小时或48小时之内再背诵一次的话，80%左右的背诵内容都会长时间留存在脑海中。

　　所以，隔一定时间进行第二次检查是很有必要的。特别是如果曾经给做错的题目做过标记，之后进行复习、检查的时候就可以以那些题目为中心来学习，这样可以节约大量时间。

　　另外，在一个学期或者半个学期的课程结束以后把全部题目再进行复习、检查，或者在准备期中、期末考试的时候进行复习、检查的话，几乎能够做到100%的掌握。对于有意进入第3阶段的学生来说，这个过程也可以省略。

　　进入第3阶段的学生，复习、检查可以和表格式整理一起进行，这样可以有效地完成学习的内容。

　　按上面所说以进行复习、检查的方式来学习的话，虽然感觉上似乎需要大量时间，但由于是以做错的题目为中心来学习，所以题目的量实际上是比较小的，而且由于越复习越熟练，所以所需要的时间也就越来越短。

　　复习的目的就是熟练和检查。

　　如果不够熟练，就无法做到快速地解答；如果没有检查，就无法保证准确地解答。

　　应该注意些什么？

　　题目的量一开始的时候不要定得太多。

　　“当然得做10道左右才算有面子呀！”结果做着做着，如果超过5个单元以上，可能就会后悔了，开始抱怨：“怎么这么多啊！”从自己的能力出发，学习的题目量不构成负担，这才是明智之举。特别是到了复习、检查的时候，如果题目的数量过多，就会成为一个负担，做起来就比较吃力。

　　数学并不是一门学了一个单元之后就会有立竿见影之效的科目。只有对各个单元培养一种综合的实力，才不会做错已经学过的题目。实实在在地学习各个单元的骨架内容，比起华而不实地做大量的题目、一个单元一个单元往下赶进度来说，效果会更为明显。

　　让我们试着以这种方法学习一个月左右的时间看看，即使是基础薄弱的人，在追根究底式学习的同时以骨架法进行学习，也能在不超过两个月的时间内看到效果。

 

第3阶段——面包与数学分数

 

　　我曾经教过一个初中一年级的女生，后来又去教她正在读高三的哥哥。他的父母在拜托我的时候说，比起高考成绩来，更主要是想提高他平时的考试成绩。就这样，我开始教他数学。

　　比起擅长数学的初中一年级的妹妹，这个学生的学习水平用一句话来说就是属于那种苦苦挣扎的水平。虽然基础倒是掌握了一些，高一水平的简单题目也能够解答出来，但只

要题目稍微难一些，他就会把头深深地埋在课桌上好半天，然后挠挠头说一声：“我不会！”

　　我首先把他当时学习的数学课程中可以作为必修类型的题目按照单元分别挑选出来，加以整理之后，只是让他拼命去学这些东西。练习题连看都不让他看，只让他做那些比整理出来的题目难度还低的“例题”，还让他通过集中的复习和检查过程来把整理出来的题目重新解答出来。

　　他刚开始也许是对这种学习方法不太有信心吧，偶尔会流露出不安的表情，但随着学习成果一点一点地显现出来，他好像对于数学学习又有信心了。

　　不久以后学校里就有一次考试，我把那些考试范围内首选的出题对象交给他的时候，对他说：

　　“你这次准备考多少分？”

　　“可以考个90分吧！”

　　他回答道，但脸上的表情却好像在说：“要是真能这样就好了！”

　　我笑了笑，威胁道：

　　“你这次要是考不过那个分数，就别再来见我了！”

　　当时那个学生的数学成绩在整个高中期间一直都是60来分，所以我们不太有信心，但是嘴上还是只往好处说。

　　当时我不知道出于何种考虑，对自己教的学生总是采用“考试成绩预告制”。如果没能取得自己预定好的目标分数，他们就要受到“可怕”的惩罚，如果取得了目标分数，就要买些吃的东西带给我。

　　考试过后，又到了他来学习的那一天了。

　　我当时心里有些担心，考试出什么题是由学校老师决定的。他来了以后不会告诉我说因为我押的题没有出，所以这次成绩更差了吧。结果，这个学生推开门走了进来，手里提着满满一袋子面包。

　　也不知道是学校的老师可怜那么多对数学丧失信心的学生还是怎么着，这次考试只出了一些必修类型的基本题目。而他说这些都是他已经做过多次的题目，所以再做起来也就没什么难的了。最终那个学生在那次考试中超过了90分，在他的高中数学史上算是最高的分数了。

　　实际上，在高难度的课程里，不太可能出什么难题。这次考试就像我平常总是强调的那样，“简单的内容出难题，难的内容出简单的题”。

　　之后，那个学生的父母对我说：“最近这个孩子就只知道学数学了！”听到他这样满怀热情学习数学，我心里十分高兴。

　　理所当然地，在下一次的考试中，他还是考了个高分。

 

第3阶段--必修类型题是什么？

 

　　应该做些什么题呢？

　　“就像一直做的那样，把每一个单元的题目都从头到尾做一遍就可以了吗？”不可以！

　　如果这样做的话，是不能指望有什么好的效果的。

 

　　学习的时候应该以重要的题目为中心、根据自己的水平确定好合适的量。

　　虽然在数学里学习的东西会根据大家所选择的教材不同而有所差异，但大致不过就是下面这些。

　　(1)基本“例题”

　　(2)“必修类型题”

　　(3)“类型题”(跟在必修题之后的题目)

　　(4)简单的“练习”

　　这四类题目中最重要的就是“必修类型题”了。

　　我们在“题目解答”和后面要介绍的“表格式整理”中，需要通过集中的复习和检查来学习的题目就是“必修类型题”。这儿所说的必修类型题指的就是那些解题法能够使核心概念得到有力表现的、具有代表性的题目，即考试中常常出现的题目。

　　这会与第2阶段中学过的骨架题略微有些重复，但必修类型题指的是那些在考试中出现的概率比较高的题目，比起骨架题来题目数更多，也稍微难一点儿。幸运的是，很多辅导书中已经把必修类型题区分好放在那儿了，大家几乎不必为到底选择哪些题目苦恼了。

　　某些辅导书会把一些让人觉得“这哪里是什么必修类型题啊”之类的题目包含在必修类型题范围之内，大致都是一些难度过高或者需要特殊解题法的题目。但只要在每个单元把筛选过程多做几遍，就能自然而然地把这些题目挑出来了。

　　所以，用辅导书挑选必修类型题要比用教科书简单得多，因为教科书是以骨架题而不是必修类型题为主整理出来的。

　　集中学习必修类型题重要吗？

　　比起其他题目来，我们在“解答题目”的阶段应该在必修类型题上面花费最多的时间和精力。其他的题目可以做一遍就算过去了，但必修类型题应该通过复习、检查的过程来集中学习。

　　为什么集中学习必修类型题很重要呢？

　　第一个理由就是考试题目的出题倾向。

　　从出题人的立场来看，是不能出太多难题的。因为如果那样做的话，大部分的学生恐怕连50分都过不了……

　　因此，如果把考试题目根据难度和重要性(在单元中所占的重要性)分为上、中、下来看的话，难度为中、下程度而重要性偏上的情况是最多的。

　　难度为中、重要性也为中的情况从出题概率上来说要比前面的少得多。

　　我在教授学生的过程中曾经无数次地为学生预测过考试题目，有时候给出30道题目，就能有将近80%的命中率，这就是因为都是以此为基准的。

　　学习的时候不按照难度和重要性把题目的类型或概念加以区分，而是对所有的概念和题目都等同视之，就好比为根本不住的房子供暖一样，纯粹只是浪费燃料而已。以这样的方式去学习只会越学越糟糕。

　　正如我一直强调的，学习时间有限，而要学习的内容却很多，所以把题目的水平和量调节好是很有必要的。

　　第二个理由就是为了在考试中得到更好的分数。

　　假设总共有10道考试题目，根据难度将其分类如下：

　　根据上图把三个层次的学生正确解答上面题目的概率用图表表示如下：

　　

No.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	总分
A组	0.9	0.9	0.9	0.9	0.65	0.65	0.65	0.65	0.4	0.47	0.707
B组	0.95	0.95	0.95	0.95	0.8	0.8	0.8	0.8	0.6	0.6	0.82
C组	1	1	1	1	0.95	0.95	0.95	0.95	0.85	0.85	0.95

 

　　* 正确解答率为100%的时候记为“1”，0%的时候记为“0”，为60%的话记为“0.6”。

　　看着这个图表，你认为中游水平的学生(A、B组)应该主要把精力投在哪儿呢？

　　如果不仔细想的话，我们或许就会认为，比起上游水平的学生(C组)来，在第9、10题上正确解答率太低是中游水平的学生的最大问题所在，所以可能就会觉得应该对难题进行集中学习。

　　但真正重要的是从第1题到第8题之间的题目。

　　如果中游水平的学生(B组)对于第1题至第8题之间的题目能够达到上游水平学生的正确率，得分会怎样呢？能够得9分，即，如果满分是100分，就能得90分。

　　这是一个可以令勉强能得80来分的学生稳得90分的行之有效的妙法。

　　方法很简单，就是要从应该多做第9题、第10题这类水平题目的诱惑中摆脱出来，然后把这些节省下来的时间集中投入到第1题至第8题这类水平的题目上。把学习一道难题所耗费的时间用来学习3~4道简单的题目是更为有利的。

　　这清楚地表明了，集中精力在何种难度的题目上对于平时的学习和考前准备来说有多么的重要。

　　到底应该筛选出多少必修类型题？

　　如果要筛选必修类型题，常常每个单元都没有一个固定的数目。有些单元比较多，而有些单元可能又非常少。以辅导书中列出来的为准是比较适当的。

　　由于教科书在学校的考试中极为重要，所以跟着学校课程学习是很有必要的。

　　高中辅导书的一个小单元里属于必修类型题的大致会有10道左右，即使把题目难度较高的类型包括在内，也以不超过15道为佳。

　　有时候会有5道以下的情况，但由于在学校的考试或其他考试中出题总是每个单元占有一定的比例，所以一个单元的必修类型题既不可选择过少，也不可选择过多。

　　由于初中的概念比较简单，单元总数比较少，所以有时候一个概念可能会带有很多题目类型，但仔细观察一下就会发现，题目在形式上的差别并没有多大。例如，在运算方式为主解题的单元中，既能这样算又能那样算，以此来创造出多种题目。

　　因为初中课程的单元总数并不多，所以辅导书在一个小单元中会把20道左右的题目作为必修类型题来加以介绍，偶尔也会出现只有10道以下题目类型的单元。总之，即使初中的题目类型数较多，但由于大多都是一些彼此间密切相关的题目，学起来还是要比高中课程相对简单一些。

　　如果一个小单元大致有20道左右的话，半个学期的量也就是60~80道左右，只需把这些准确掌握了，就能得90分以上。

　　其实，大家要学习的量并不是那么大。

 

3阶段--必修类型题该这样来解

做那些适合自己能力的题目，要勇于忽略掉那些对自己水平来说过难的题目。

　　做一道难题通常会花掉解答三四道简单题目的时间，而学习的时间是有限的，如果大部分时间都花费在做难题上，那进度就会慢如蜗牛，没多久就会因为厌倦而放弃。

 

　　不过，那也不是说难题一点儿都不要做。

　　那只是说，如果大家觉得有些题目超出必修类型题水平，比如，那些需要一定解题技巧和能力的应用题或者那些标示为“高难度”的题目，就应该略过去。即使不做这些题，把它们跳过去也没有什么大问题。几乎没有哪本辅导书会把必须掌握的重要题目列在“练习”之中。

　　大部分的辅导书都会把“练习”中基本的部分和高难度的部分区别开来，大家在这一阶段需要学习的东西就是基本的部分。

　　有些学生可能会说：

　　“不行！要是把‘练习’就那样放过去了，以后哪有时间再去做？还不如现在干脆先把它做了再往下进行！”

　　但如此一来，进度的推进就会很吃力，脑子就很容易会立即糊涂起来。

　　应该把做那些题目的时间用在必修类型题的复习、检查和表格式整理上，这才是使学习效果最大化的捷径。

　　该怎样学习？

　　在前面的第2阶段里，大家已经学过把骨架题筛选出来学习的方法，所以对某个单元中哪些才是重要的题目应该大致有一个了解，现在只要在其“骨架”上再添加点“血肉”就可以了。

　　在“题目解答”的阶段中要做的事情就是把必修类型题挑选出来，对其水平之下的题目进行集中的学习。

　　由于在第2阶段中已经做过与概念、公式的说明一起出现的“例题”了，所以这次可以把这些略过去。只是，即使有些必修类型题已经在第2阶段的骨架题中学习过了，最好也还是在这儿再学习一次。

　　必修类型题顾名思义，是在考试中出现概率较高的题目，所以准确地掌握这些题目是非常重要的。只是做到能解答出来还远远不够，应该能够把那道题目所包含的独特解题法与其他题目的解题法毫无混淆地加以区分和背诵下来，而且，还必须要有一个检查的过程。因为惟有如此，才能无论在何时何地遇到这个题目都能解答出来。

　　“类型题”和简单的“练习”都是为了复习“必修类型题”，或者通过把“必修类型题”加以变形来训练对新的题目的适应能力而给出的。因此，如果在“练习”中出现了需要新的解题法的题目，或者较为奇特的题目的话，也没有必要紧张，忽略它们即可。“啊！原来还有这样的题目啊！”“还可以这样出题的呀！”在做“练习”的时候，只需要有这样的印象就可以了。

　　在第3阶段的“题目解答”过程中最重要的事情就是把必修类型题挑选出来加以学习，而在学习挑选出来的题目时能最大程度地提升其效果的方法则非表格式整理莫属。

　　如果有人觉得做到表格式整理那一阶段较难的话(特别是初中生有可能会觉得表格式整理是一种负担)，请按照下面的方法去做。

　　把必修类型题挑选出来之后(使用已经标示出来的辅导书也同样可以)，正如在第2阶段所做的那样，通过进行两次复习、检查的方式来对那些东西进行学习。大部分学生在数学方面失败的原因就是没有对重要的题目类型进行集中的复习、检查。即使没有进行表格式整理，只要做到了这一步，也可以取得较为可观的效果。

　　但那些要进入表格式整理这一阶段的人就没有必要再去进行复习、检查了。由于进行复习、检查在表格式整理的过程中还会再做，所以在解答题目的阶段中只需要把必修类型题水平以下的题目(前面提到的)挑选出来，在理解的同时只通过一次检查实实在在解答出来就行了。

　　应该注意的是，偶尔会有些学生不以整理(不管是不是表格式整理)或者进行复习、检查的方式去学习，而只是倾向于在做完“练习”后直接做“高难度的习题集”，大有把题目做遍的气势。但如果以这种方式去学习的话，失败的几率是非常高的。

　　因为他们在头脑中连必修类型题都还没理清楚，所以消化不了高难度的题目。

　　这样去学习的话，学的越多，学过的内容就越容易混淆，不管怎么学都不会有什么起色，最终反而不利。这在比起初中来题目更多更复杂的高中阶段尤为严重。比起投入的时间来，收获却显得如此微不足道。

　　如果大家真的想跻身于上游生行列的话，在题目解答的过程中还应该同时运用“表格式整理学习法”。

　　由于表格式整理能够取得比大家所付出的努力更大的效果，所以我希望大家尽可能地做到这一步。

 

第4阶段--弱点，该怎样追根究底？

 

　　对弱点进行追踪是什么意思？

　　它指的是，不要只是单纯地以 “啊！原来我这些没做好，下次一定要好好做”的态度来应对自己的弱点，而应该把成为弱点的部分找出来，然后追根究底。

　　都有哪些弱点呢？

 

　　可以分为以下几类：

　　(1)对某个单元没有信心

　　(2)某种类型的题目经常做错

　　(3)对某个主题没有信心

　　(4)考试或学习中有坏习惯

　　这些都可以是自己的弱点，在这儿我对把这四种弱点追根究底的方法做一介绍。

　　弱点，该怎样追根究底？

　　第一，要克服在某个单元上的弱点，把那个单元整理出来也就轻而易举地解决了。

　　按照前面介绍的表格式整理法，整理那个单元的时候，把过难的题目先搁在一边，以必修类型为中心把题目整理得一目了然。同时添加小标题……

　　接下来，不断反复，直到把那些题目完全记在脑子中为止，并去理解其解题过程。

　　这时应该注意的是，如果重要的类型只学习一遍就算过去了，之后立即把目光转向其他的大量题目上，就没什么效果了。因此，对于那些必修类型题目，应尽量少选一些，进行多次的复习、检查，要达到不管什么时候再做都一定能做得出来的程度为止。

　　对你来说成为弱点的单元一般也是大部分学生身上的弱点，因此，出题就会相对较为简单，大家最好只把注意力集中在重要的题目上。

　　有的时候，也会由于题目之间过于相似而难以区分。这时只要通过表格式方法进行整理，把题目之间的不同点、特征、解题法、公式等一次性学完，就可以彻底克服弱点。

　　例如，如果对概率、统计没有自信的话，就可以把其中代表性的题目筛选出来，集中地学习那些题目的基本公式、概念、解题法等，直到可以在头脑中鲜明地浮现出来为止。

　　正如大家所知道的，这种方法是在前面的阶段中一直强调的方法。至于这种整理的方法到底有多么了不起的效果，只要把你认为是弱点的一两个单元挑出来试一下就会知道了。

　　如果自己觉得确实已经把曾经是弱点的单元的基础夯实了，就可以稍微扩大一下题目的范围，并增加一下题目的难度了。在自己觉得确实已经充分掌握了之后再渐渐地向外扩展，正是这种方法的核心所在。

　　再重复强调一遍，对于那些存在弱点的单元，如果贪心不足地想把单元中的所有题目都一次做完的话，只会感觉到越做越混淆，越做越难。

　　第二，要克服在某种类型题目上的弱点，就要对考试中做错题目的根源一追到底，找出来后解决掉。

　　考试的时候，很多题目看上去好像是陌生的，但实际上大部分都是做过一遍的题目，或者与之类似的题目。而即便这样还是做错了，就是因为没有以去除弱点的方式来学习的缘故。

　　即使题目的内容有所不同，但如果上一次你在利用概率的加法定理解答的题目中做错了，这次又在类似的题目中做错了的话，就是因为没有以克服弱点的方式来学习。

　　因此，考完试之后，要想一下做错的题目当初不会做或者没有想起来的理由到底是什么，如果自己有哪部分在理解或解答上没有信心，就要找到内容的出处，不仅与那道题直接相关的内容，就连它周围的东西都要毫无遗漏地学习一遍。

　　有可能的话，还可以考虑一下那道题与相关的题目之间有何不同，具有什么样的特征等，边整理边加以练习，这样一来，就再也不会发生做错那道题或与其类似的题目的事情了。

　　而且这还能够成为一个把自己原来不知道的很多题目之间的连贯性和特征等了解一番的好机会。

　　这样的学习方法在准备高考之类的大型考试时也是非常有效的。

　　第三，克服在某一主题上的弱点的方法。

　　在某一主题上的弱点，对于初中生来说就是碰到以新面目出现的题目经常不会解答，对于高中生来说就是经常在最大值、最小值题目上没有自信。为了解决这一问题，就要像前面说过的克服某一单元弱点的方法一样去做整理工作。只不过在这儿更应该侧重的是整理这一过程，而不是对题目进行复习、检查的解题过程。

　　像这样对某一主题缺乏自信的时候，只要把与这个主题相关的内容通过前面所说的表格式整理法学习一番的话，原本看起来很复杂的题目就干净利索地整理在自己的头脑之中了。

　　举个例子来看一下。

　　初中生的话，在方程式的应用方面出现最多的题目也就是有限的那么几个类型。

　　即，速度—距离—时间题、钟表题、盐水题、工作或自来水题。把这些分类之后仔细观察一下其特征，然后把其中的代表性题目集中练习一番。

　　不管什么题都一直做到能做对时为止……

　　然后就可以一点一点地去做类型相同的其他题目或者截然不同的题目了。

　　高中生的话，举一个最大值、最小值题目的例子来看一下。

　　把高中数学中出现的最大值、最小值题目整理如下：

　　一个未知数的最大值、最小值

　　1. 一个未知数的最大值、最小值

　　(1)二次函数的最大值、最小值(☆☆☆)

　　2. 两个未知数以上的最大值、最小值

　　(2)A2+B2+…+C2+…+(常数)形式的最大值、最小值(☆☆)

　　3. 在有限定条件的方程式的情况下的最大值、最小值

　　(1)有限定条件的方程式的二次函数的最大值、最小值(☆☆☆)

　　(2)有限定条件的方程式的两个未知数的最大值、最小值(☆☆)

　　(3)利用判别方程式解题(☆)

　　(4)有实数条件的不等式中的最大值、最小值

　　(5)不等式的域和最大值、最小值(☆☆)

　　4. 特殊形式的最大值、最小值

　　(1)算术、几何平均(☆☆☆)

　　(2)柯西不等式

　　与给出的表格所反映的一样，它包括了很多类型的题目。除此之外还有很多类型的最大值、最小值题目，但大部分都是些知道这一解法后就能做出来的类型。如果考试不是太难的话，只要掌握表格中那些星号为两个以上的部分，就完全可以应付得了。

　　虽然这个表格中并没有包括解题法、例题等，但是大家在自己制作的时候，如果能把这些东西添加上的话，就算得上是一个完整的表格了。

　　如果能把这些整理出来的内容在头脑中按照解题法的特征加以区分，分门别类地记住的话，可以说对于90%以上的高中最大值、最小值题目都已经成竹在胸了。

　　由于整理好的题目类型已经真正掌握了，所以如果考试中出现了与其相关的题目的话，当然就能解答出来；即使出的题在上面并没有整理出来也没有关系，因为对自己和其他人来说这都是一道陌生的题目，所以最终也不会对自己造成损失。

　　第四，如果某种习惯成了自己的弱点的话，为了使其得到纠正，就要努力有意识地或者使用特定的方法来改掉这一习惯。

　　在学习数学的时候，能成为弱点的习惯实在是太多了，下面拿其中的性急和麻痹大意来举例看一下。

　　如果观察一下上游生中能维持满分的学生就可以发现，他们大部分都是沉着冷静的人。因此，或是仔细把自己做的题目验算一下，或是把题目的说明部分读两遍，或是把自己的解题过程整理得干净利落，总而言之，哪怕性子急的人只是在做题的时候变得沉着冷静、认真一些也是很有必要的。

　　数学是一门哪怕只偏差了万分之一，也肯定会答错的科目，必须要准确。而准确性源自于沉着冷静，因此，平常做题的时候就有必要给自己一些自我暗示。

　　“我一定要把题目的说明部分读上两遍。”

　　“我要经常一边验算一边写解题过程。”

　　“我做题的时候一定要慢慢来。”

　　“我做题一定要做到确认所有的题目都做对了为止。”

　　此类的自我叮嘱对于纠正这种习惯来说是最好的方

　　法了。

　　我教过的学生中，有人总是因为不验算而犯错误，我对此大加斥责，从此之后这样的错误就会少很多。有时候，或许这种刺激学生的方法也可以成为令他们改掉坏习惯的契机。

　　不管怎样，关键还要靠学生自己。如果自己下定决心要改正的话，没有什么习惯是改正不了的。

　　上面所说的四种克服弱点的学习方法就是弱点追踪式学习法。

　　何时应该用弱点追踪的方式来学习？

　　它并没有什么特定的过程或阶段，考试的时候或者平时学习的时候，不管何时都可以使用这种方法。只是，如果基础实在太差，它就成了自己的弱点，这时以“对基础追根究底的方式”来学习就可以了。

　　大体来说，结束了前面介绍的第1、第2阶段后，从进入第3阶段时开始，就可以在任何必要的时候通过这种消除弱点的方法来进行学习了。

　　应该注意的是，在平时推进进度的过程中，很多时候明知道某一部分是自己的弱点，但还是因为进度的原因就那样忽略过去了。这是一种学习了也不会有什么大进展的做法。

　　如果不得不先那样做的话，一定要做一个标记，或者，最好另外抽一些时间来把它解决掉。如果不这么做，任由它过去的话，以后就会连自己的弱点到底是什么都搞不清楚了，最终还是会因为那个弱点而使自己在数学学习中被缚住手脚。

　　如果克服了成为自己弱点的单元或主题，克服了成为自己弱点的习惯，最后再克服掉成为自己弱点的题目类型，对于大家来说，初、高中的数学将不再可怕。

 第5阶段--该用什么样的习题集，该怎样去解题？

 

　　如果大家把前面的三个阶段都扎实地完成了，那么也就充分具备了挑战第5阶段的实力(第4阶段是与其他阶段同时进行的，所以什么时候都能做)。

　　该选择什么样的习题集？

　　所谓高难度的习题集，是指那种需要掌握较难的概念才能解答出来或者与解题能力

有关的题目很多的习题集。虽然偶尔有些习题集纯粹就是由这样的题目组成的，但如果一本习题集包括30%以上的这种题目，就可以叫做高难度的习题集。

　　只由过难的题目组成的习题集反而对学习没有什么好处，因为至少得有60%~70%会做，才能既起到复习必修题目的效果，又能产生自信心。

　　如果选定的习题集有50%左右都做不出来的话，很容易令人厌倦、失去兴趣，因此，最好选择一本简单题与难题适度混合的辅导书。

　　还有，最好也能包括一些高考题。因为这样一来，不需要另外学习其他的东西，就能在解答该书高考题的过程中对高考出题的倾向和水平有一个了解。由于高考题中有很多富于创意的题目，所以对于解题能力的培养是非常有益的。而且高考题也常常会在学校的考试中出现，对平时的考试也能起到一个准备的作用。

　　做几本习题集比较合适？

　　只做一本的话，效果会比较小。

　　因为做过的难题，在别的地方再遇上的时候常常还是不一定能做对，而且这样一来，也就没有机会对那个单元里难题之中的重要题目是什么进行观察了。

　　最好选定两本左右水平差不多的习题集，如果有自信的话再多选择一本也是可以的。虽然大家可能觉得会多花不少时间，但实际上只需要三个月左右就能结束两本习题集中一学年的进度，就像MS那样。

　　因为在做高难度的习题集时，基本例题之类的简单题目是没有必要去做的，只要去做那些难度在必修题以上的题目就可以了。而且在高难度题目之中，大部分解答起来花费的时间多少都会长一些，并且没有必要去背诵，所以也不用通过复习、检查的方式去学习，只需要好好地学一遍即可。

　　如果只完成一个学期的进度的话，一个半月的时间已经是绰绰有余了。如果是在数学上面投入很多时间的学生的话，一个月之内就可以结束。

　　该用什么方式去学习？

　　在进度往前推进的时候，最好不要采取做完一本习题集再去做另一本习题集的方式。这样做的话，做过的难题很容易就会忘记。

　　比起上面的方式来，最好能够在学习的时候采取“Z”字形的方式在两本习题集之间游走。一本习题集中的一个单元结束之后，再去另一本习题集中把那个单元学习一遍。这样在两本习题集之间来来回回地学习的话，很容易就能区分出难题之中的重要题目(大部分都是重复出现的题目)，而且学习会因自然而然进行的复习而获得良好的效果。

　　把做错过的题目标示出来，等到考前复习或者完成了一个学期的进度时，再回过头来复习一次的话，大家的实力就会更上一层楼。

　　学习这些难题的理由之一就是为了提高对陌生题目的解题能力。

　　因此，在进行这种学习时，有效的方法就是要多思考。

　　“我是怎么把这道题做出来的？”

　　“解题过程怎么会是这样的呢？”

　　“这与必修类型题有什么不同？”

　　“这道题的解题方法是不是和哪道题类似？”

　　“常常出现的重要题目为什么重要？”

　　“有没有别的解题方法呢？”

　　抱着此类的想法去做题的话，你就可以整理出一套自己独有的解题方法。

　　大致来说，在解题的时候，我们需要考虑的东西有：寻找共同的解题法、寻找在解题过程中产生的疑问的答案、试着用其他方法去解题、寻找连贯性等。

　　带着对这些问题的思考，一边解决疑问一边学习，远比毫无思考地做题更为有效。

　　寻找共同的解题法是指要注意在解题时同样的解题方法。在题目A中使用过的解题法在题目B中再次使用的时候，不能视而不见，而要思考一下它们之间的不同点和类似点等，并连贯地整理出来。

　　例如，包含绝对值符号的题目都出现在方程式或函数中，因此，如果早已把包含绝对值符号题目的解题方法按各种情况区分整理好的话，在学习其他单元的时候就会有很大的帮助，至少也能让一看到包含绝对值就害怕的情况不再发生。

　　寻找在解题过程中产生的疑问的答案，顾名思义，就是说如果在解题的过程中遇到了无法理解的部分时，要为解决这一疑问而深思。实在无法理解解题过程时，应该努力寻求其他人的帮助，或者参考类似题目的解题法来理解这一过程。

　　试着用其他方法去解题并不是说对所有的题目都这样做，只需要尝试几道题目就可以了。有些题目可能会有多达四五种的解题法，在学校的考试题或者高考题中，一道题有数种解题方法的情况也不在少数。

　　虽然辅导书中收录的一般都是标准方法，但练习一下用其他的方法去解题还是有其优点的。第一，如果在考试中遇到了不会做的题目，当一种方法行不通的时候也不至于张皇失措，还可以尝试一下其他方法。第二，通过思考辅导书中的解题法与自己的解题法之间的差别，对题目的理解就会更加深一层。第三，解数学题的技巧会有所长进。也就是说，碰到一道题目的时候，思考解题方法的能力会得到提升。虽然不能把很多题目都像这样用其他方法解答一遍，但在一个单元之中选出几道题来，以这种方式练习一下对于培养实力还是大有裨益的。

　　寻找连贯性是指要一边思考单元之间或者题目之间的类似点或不同点，一边去解题。例如，一次方程组和两条直线之间就有着非常连贯的关系。因此，在函数中学习两条直线的关系(重合、相交、平行)时，就要与前面学习过的方程组的内容相互比较。

　　高难度的题目常常是由多个题目糅合在一起而成的，所以如果能思考一下它与其他单元中学过的东西或与重要的必修类型题之间的关系，学习就会富于成效。

　　这种注重思考的数学学习法能让你从表格式整理阶段再向上提升一层。即，它能够使你具备对从来都没有做过的题目也能从容不迫地解答出来的实力。

　　不要把这种思考式的学习法只应用在高难度的题目上，这是对于第3阶段之后学习的必修题难度以上的题目都适用的一种方法。

　　对于其中的寻找共同解题法和连贯性，我会在后面做更加具体的介绍。

　　总之，如果能够以这种方式对高难度的习题集进行学习的话，在初、高中的数学中，不管遇到以何种面目出现的题目你都将具有应付自如的能力。

 

不良的学习习惯，一定要纠正

 

　　我在教数学的过程中遇到过很多的学生，而我总是在一开始就注意观察他们的学习习惯。

　　有时候，我用自认为有效的方法教他们，不知道为什么，他们的数学实力或成绩却没有什么提高。这种情况大部分都是他们不良的学习习惯造成的，所以我常常在刚开始教他们的时候就抱着这样的想法：“这次他们又有哪些坏习惯呢？”对他们进行留心的观察，一

直到帮他们纠正过来为止，始终都在与坏习惯进行着艰苦的斗争。

　　为了纠正后面将要介绍的做题过慢的学生的习惯，我曾经把各个题目较快一些的解题法整理成整整一本书左右的分量。这些都是在对解题过慢的学生进行观察的一年时间里，我一直给他们指出并整理出来的更快些的解题方法，积攒起来竟有这么多。

　　纠正不良的习惯就是这么艰难，要花不少的时间，而且，如果被它缚住手脚是相当不利的，因为得到的结果往往要远远大于付出的代价。

　　为了纠正不良习惯，重要的是找到问题的原因所在，有时候只要知道正确的方法就能很容易地纠正过来。

　　无论如何，只有知道原因才能有意识地去努力，然后随时间推移慢慢地好转。没有什么习惯是无法纠正的，只不过是要多花费一些时间罢了。

　　“我会不会也有这样的不良习惯？”

　　问一下自己，如果真的有，就记住我所介绍的方法，努力把它纠正过来吧。

　　数学学习自然就会一帆风顺的。

 

绝不可能成功的三种情况

 

　　数学学习绝不可能成功的三种情况有：

　　(1)不背诵。

　　(2)不相信老师。

 

　　(3)讨厌学习。不是没有能力，而是讨厌学习本身。

　　第一，如果不去背诵就绝对无法脱离下游生行列，我在前面已经介绍过这样的例子了。

　　对包括数学在内的大部分科目来说，背诵都是最基本的东西。

　　大家或许会以为，进了大学或者研究生院之后可能就没有需要背诵的东西了，实际上却并非如此。不用背诵就能搞定的科目几乎是不存在的。

　　第二，不相信老师的学生就不会听老师的话。所以让他做作业的话，不是找各种借口推托就是勉强装个样子而已，那样的学生不管怎么教他也绝不会有什么长进。

　　明明老师都说了这样去做水平就会有所提高，却偶尔还是有些学生抱着“哎！不会吧！”的想法不去照做。到后来才知道后悔，“我为什么不那样去做呢？”我看到在我教过的很多学生中，那些很听我的话、总按照我说的去做的学生都轻而易举地就提高了数学实力。

　　大家都有过自己喜欢的老师教的科目学得就好的经历吧？就算不喜欢也好，试着相信老师一次吧！

　　第三，对数学不感兴趣，讨厌数学。一句话，这是最令人头疼的一种情况。

　　迄今为止，我还是没有找到能把对数学毫无兴趣的学生行之有效地引入学习正途的方法。

　　如果受托教这样的学生，往往要把大量的时间花费在跟他讲在人生中学习有多么重要上面，而不是在课程的进行上，而且，为了把课讲得有趣一些还要用尽各种方法。偶尔也有成功的时候。

　　如果以我说的话为契机，那个学生偶然间感觉到学习对于自己来说有一点点重要，数学还是值得一学的话，即哪怕他只是有一点点自己要学习的想法，可能性也才由此产生。

　　这个时候就好比让即将熄灭的烛火保持燃烧一样，将兴趣和学习的量求得一个适当的平衡点，小心翼翼地推进进度是很重要的。

　　结论就是，对于那些对学习毫无兴趣的学生，只有能够正确地引导人生、善于教诲的优秀老师才能帮助他们。

　　如果用尽了各种方法，学生自己还是连一点点努力都没有的话，暂时不要让他学数学也算是一个不得已的好方法了。

　　(当然，大部分的家长都不会同意的……)

　　今天的初、高中生中，自己愿意停留在下游生行列的学生有几个？

　　数学，试着学一下，就不会觉得太难。

　　如果只把目标定在中游水平，不需要学那么多也可以。我认为，比起不努力学习的学生来，更多的学生只是方法选择不当，或者有不良的学习习惯而已。

　　鼓起勇气来吧！巅峰并没有大家想像的那么遥远。

　　如果能避免数学学习绝不可能成功的这三种情况，总是会有成果的。

　　总之，既然要在初、高中待上6年的时间，把数学搞好总比没搞好强多了吧？

 

解题过慢有害

　　这是在我教两名初中一年级的学生时发生的事情。

　　这两个学生的共同点就是做题太慢和太调皮。有一次由于她们太吵，被我训斥得眼泪都流出来了，可是还没过5分钟就又恢复了老样子。比起教她们学习来，让她们别吵才是更费劲儿的，但从另一个角度看，她们也还是挺可爱的。

 

　　无论如何，对于数学学习来说，做题慢吞吞是一件很成问题的事情，所以先要把这个问题解决了才行。小学式习惯根深蒂固的这两个学生又各有不同的症状。

　　SH总是不好好写解题过程，总想用默算把题目做出来，因而把时间都耽误了，而SJ是把解题过程写得过于仔细(慢吞吞)了。

　　SH做难题还可以，做简单的题目却常常出错。所以，如果题目的难度属于中等水平的话，SJ做的要比SH好得多，如果题目的难度属于上、中、下混合的话，两个人的分数就差不多。

　　因此，我首先要求SH不要再默算了，要把所有的解题过程都一字不落地写下来。

　　但这个性急的学生却总是把解题过程乱写一气，常常是写到2/3左右的时候就直接把答案写出来了，或者做着做着稍微有些地方不明白的话，就在那儿冥思苦想，把时间都白白浪费了。

　　所以我就要求她时刻注意按照辅导书中写的那样，解题步骤要一直写到答案出来为止，并训练她不要总在一道题目上停留太长的时间，还要求她不要默算，首先要做到准确地进行笔算。真的不是一件容易的事情，花费了很长的时间。不过，她在简单的题目中出错的情况终于越来越少，考试成绩也有了大幅度的提高。

　　SJ的问题在于解题过程写得过于仔细、解题过于慢吞吞。简单的移项或者把加减符号从括号中挪出来等，我来做的话(初中的方式)只需要两行的东西，她会写上长长的6行至8行。

　　我让这个学生练习着通过默算来减少解题步骤，引导她通过集中地默记几个部分(把括号展开、移项等)来改变这一状况。

　　结果，她的解题过程减少到了4行左右，从此以后，她在考试的时候时间不够用的情况就少多了。

　　到了这一地步，不但需要很多时间，还要不断地教导她们，其间有很多事情很难用短短几句话形容。

　　有些学生存在着运算或解题过慢的情况，所以，常常由于解题的时间不够，或者因剩下的时间太少过于匆忙而导致本来会做的题目也做错了。如果能够很快做出的话，从各个方面来说都是有利的：在同样的时间内能够学习更多的内容，而且，在考试的时候可能会多做一道题出来，或者能够进行验算，从而对分数的提高大有帮助。快速解题，练习得越多，也就越有好处。

　　快速解题的方法之一是熟练。

　　即，不管是什么题目，如果做过很多遍，准确地掌握它的解题方法的话，就像找很熟悉的房子一样，由于已经熟知路线，解题的时间会缩短很多。还有，把解题过程写下来所花费的时间也缩短了。

　　为了达到熟练的程度，就要像前面所说的那样，多做一些在没有任何外部帮助的情况下只靠自己的力量从头到尾把题目解答出来的练习。通过那样的反复可以自然而然地达到熟练的程度。

　　但有些学生仅仅靠这些还是不够的，即解题本身花费的时间过长，把解题过程全部写下来花费的时间实在是太多了。

　　为了减少所需的时间，默算练习是很必要的，一般的解题步骤用脑子来算就可以了。

　　解题熟练之后，脑子解题的速度要比我们的手快得多，所以会发生手跟不上趟的现象。这就是最终的目标。

　　到了这个时候，我们的脑子在解题的同时即可进行验算，有充分的时间去思考题目应该如何解答，总体来说，解题所需要的时间也会大大缩短。在达到这种程度之前需要进行大量的练习。

　　但有一个必需的条件，那就是准确性。

　　为了解题更快一些而去默算，结果却因为失误做错了的话，快速解题的意义也就没有了！因此，为了使默算的作用得到充分的发挥，就必须具备准确解题的能力。

　　我们的目标是准确性要高，快速解题的方法也要熟练。

　　这种一举两得的方法如下：

　　第一，为了提高准确性，首先通过笔算(用笔来写的运算)把准确性提高到99%的水平是很重要的。对于那些平时不写方程式、通过默算来处理却又失误频频的学生，即使需要花费的时间很多，基于准确性的考虑也一定要经历用笔算来把所有的解题过程写下来的阶段。

　　等自己觉得已经可以进行无懈可击的笔算时，才可以过渡到默算这一阶段。

　　第二，要从笔算转向默算。

　　前面之所以要求99%，是因为考虑到那些偶尔抱着“我的笔算还没有达到无懈可击的程度”的想法而不想过渡到默算的学生才提出的。虽然大幅度提高准确性很重要，但实际上自己能感觉出准确性到某种程度就足够了。

　　还有些学生也许会问，既然几乎都能无懈可击地把题目解答出来了，干吗还要过渡到默算的阶段去？默算会节省很多时间，这是它的一大优点。如果时间充裕一些，也许就可以多做出一道难题来，也可以赢得验算的时间。因为这个就可以多得几分。

　　还有，数学解题能力(思考能力)也会得到非同寻常的发展，即使是在用手解题的过程中，脑子也能对题目展开多方面的思考。

　　做到这一步需要耐力与勇气。多练习几遍就会发现，在默算的时候也能够像笔算一样在头脑中进行非常明晰的运算了。要为此进行练习。

　　虽然刚开始的时候想在解题过程中减少一个步骤都有些费劲儿，但到后来，用脑子思考一下就可以把题目解答出来了。还有，本来用两位数与一位数相乘，默算起来也很吃力的，经常练习之后，即使用两位数乘以两位数，默算起来也不怎么难了。默算练习得越多，技术也就越有长进。

　　这种练习什么时候做？

　　没有必要占用单独的时间，在进行其他项目的同时有意识地努力练习一下即可。每次做题的时候都练习一点儿，效果很快就会显现出来。

　　这样去做的话，我们就能一箭射中准确性和速度这两只雕。

　　题目有难度的时候，大家的努力就会得到实实在在的回报，而且，具备了这种默算能力之后，平时学习习题集或辅导书的时候进度就会快很多。

 

 如果连自己的字迹都认不出来，一定会答错

 

　　在我教过的很多学生之中，字写不好的情况有很多。

　　写字不好会出现什么问题？

　　在数学中是可以成为一个问题的。

 

　　如果自己写的字连自己都认不出来的话，那就真是一个问题了。

　　还有，如果字写得太急，过于潦草，数学符号中连加减都分不清的话，就成问题了。以我的经验，这种写字成问题的学生在五名之中就有一名。

　　这种问题并不是只存在于下游生之中。

　　我教过的学生中，有一个单从数学方面来讲在本年级中数一数二的学生，也曾经很多次因为看不清楚自己写的解题内容而在验算的时候把题目做错了。

　　当然，也有很多次在解题的过程中就因为把字弄混淆了而做错题。每当那个时候，我就让他不断地练习慢慢地写字和准确地写标准字—特别是数字或符号。虽然他写的字本身并没有多大的好转，但不知道是不是在做题的时候留心了的缘故，失误明显减少了很多。

　　因为对于那个学生来说，多错一道题就是一件很严重的事情。虽然在学习不好的学生之中也许会有人说：“就算不失误也就只能勉强得个60分，多错一道4分的题有什么大不了的？没什么差别啊！”但只要再纠正一两种不良习惯，也许就能够把现在的分数提高到70多分。有句话不是叫做“千里之行，始于足下”吗？

　　除此之外，我教过很多有不良习惯的学生。他们或是因为写字的速度太快或字写得太小导致很难辨认，或是不把解题过程好好地整理出来，这儿写一点儿那儿写一点儿，最终搞不清楚都在哪儿。

　　每次碰到这样的学生，我就会先向他说明为什么要纠正过来，再把纠正的方法也告诉他。

　　大体来说，男同学这种情况比较多，纠正的方法也很简单。

　　第一，尽可能用标准字(方方正正的字体)来写。

　　第二，尽可能用比现在大一些的字号来写。因为经常会因字写得太小而无法辨认。

　　第三，慢慢地写。这并不是说要慢吞吞地去写，而是为了用标准字去写，特别是为了把符号之类的东西准确地写出来，要认真地去写的意思。

　　几乎没有通过练习纠正不了的东西，每个人的字体也是在从小长大的过程中不断变化的。只要下定决心，前面指出来的问题至少能得到改善，纠正写字的方式并不是一件难事。

　　我教过的学生在挨了一顿训斥之后，虽然写字的技巧并没有什么提高，但至少能够小心翼翼地去写重要的符号或者数字了，因为这种问题出错的情况几乎没有了。

　　另外，我有一个小建议，要想把字本身写好，去练字或者常常模仿别人的字体也是一种方法。